대학교 수학과 에서 무엇을 배울까? > 질문, 자료요청 게시판

-대학교 수학과 에서 무엇을 배울까?+글쓴이 결말-

신입생 시절에 자신감 만땅으로 미리 필즈상 수상소감 연습했던 시절 생각나네..ㅎㅎ

(필즈상 수상소감 미리 연습하던 시절 사진)

가끔 수학 키워드로 검색하면 수학 게시물 있어서 그냥 한번 올려봄.

솔직히 대학교에서 제시하는 학년별 커리는 있는데, 요즘은 뭐 거의 선행이나 미리 공부하고 오니 

몇학년 과목이란 말은 의미 없음을 먼저 말해둠

-보통은 1학년 추천 과목-

1. 1학년 : Calculus 미적분학 1

포지션이 애매한 과목중 하나로, 본인은  힘줘서 공부할필요가 없는데 (후술함)

보통은 중간~기말 고사 까지는 , 고등학교에서 다루지 못한 흔히 입실론 델타논법, 로피탈 정리,  등을  배우는데

여기 까지는 솔직히 어려운건 없음 

1.1학년 : Calculus 미적분학 2

역시 마찬가지로 포지션이 좀 애매한데, 보통은 미적2다 그러면, 다변수함수 내용과 벡터함수의 미분적분, n중적분, 그린정리,  그레디언트 연산자

야코비 행렬변환, 그다음 현역 고3들이 써먹는 테일러급수등을 배우게되는데

역시 어려운건없은데, 요즘은 벡터가 교육과정이 없다고해서 모르겠음.

2. 1학년 정수론

정수론 ㅈㄴ 싫어해서 별로 할말없음, 진짜 정의 정리 ㅈㄴ많음 ㄲㅈ

3. 1학년 집합론.

집합론 같은 경우는 보통 단학기로 많이 열리는데

재수없게도 수학과에 입학했다면, 무조건 열심히 해야 하는 과목임.

모든 수학전공서적의 정의 정리 증명방식 논리전개 방식인 양화사문장을 배우고,

어떤 이론을 써먹거나 증명하려먼, 또는 흉악한 연습문제에서, 집합론이 100프로 등장하는데

집합론에서 가장 중요한건, 분할, 동치관계, 선택공리, 가산무한,비가산무한, 정도만 알아도 반이상은 성공한거임.

실제로 여러분이 들어본, 푸엥카레의 추측 이란 문제는 정확히는 "대수적"위상수학 분야인데 (흔히 말하는 위상수학이랑 좀 다름)

집합론에서 동치관계를 잘 정의하면, 해당 집합은 일대일 분할을 할수있다는소리이고,

우리가 급식 시절에 배우던, 일대일 대응함수를 사용하면,  정의역 X가 치역 Y로 변형되었다 정도로 이해할 수있는거지.

(대수적 위상수학에 관해선 나중에 다루게 된다면 좀더 자세히 써봄, 편의상 엄밀성은 포기하며 설명함..)

아무튼 집합론은 그냥 수학과 모든 과목에서 스킬로 쓰이니, 집합론을 전공할생각말고, 스킬로써 공부해둬야함.

-보통은 2학년 추천 과목-

1. 2학년 해석학1

조금 쉬운 해석학책은 좋게 보면, 급식시절 학구열이 높았던 학생들에게 모범답안이 되는 책이기도한데,

보통은 해석학책은 크게 2가지부류로 나뉨,

흔히 무리 급식시절에 자연수는~유리수는~무리수는~실수는~ 연산데 닫혀있다를 그냥 약속으로 받아드리기로한다. 대충

이런거 본거 같은데

조금 어려운 해석학책 기준으로 

, 페아노 자연수공리계로 시작해서, 유리수를 "정의"하고, 유리수의 결함, 즉 약점인

데덴키트 컷을 반례로 들어, 실수의 완비성을 공리로 인정한다음, 무리수의 존재성을 증명하며 시작함,

해석학 1페이지 부터, 집합론 내용이 쏟아지니, 주의좀하고~

(급식들이 가끔 헷갈려하던데, 고교과정에서 루트2가 무리수임을 증명하는건 이미 루트2의 존재성이 보장받기 때문에

증명할 수있거임)

그다음, 입실론 델타논법을 들어본 사람도 있을텐데, 해석학에서는, 입실론 델타논법을 더이상

실수라인, 에서만 정의하지 않고, 2차원 n차원 그리고 좀더 일반화된 거리공간, 추후에는 더 추상적인  집합 위상공간으로

확장하는데, 이런걸 배우는게, 해석학의 정식적인 1챕터의 시작

보통 쉬운 해석학책은, 거리공간개념+다변수 내용이 없고, 주구장창 1변수 실수라인 에서만 내용을 전개해서,

아무튼 해석학책은 내가 어느방향으로 공부할것인지 잘선택해야함.

2. 2학년 해석학2.

선형대수학과, 해석학이 무슨 연관성이 있을까 싶지만, 우리가 급식시절에 배운, 도함수 다들 기억할텐데,

해석학2의 출발은 n변수함수의 도함수를 하나의 선형사상으로 취급해서 행렬로 바라보는 것으로 시작하게됨.

예를들자면

(수식기로 작성함, 아마 선형대수학과 해석학의 접점을 처음보는게 아닐까 하는 n변수 실함수의 미분가능정의
즉: 급식시절 미분 한다 와 도함수는 전혀 다른 개념임, 미분은 한점에서 극한값이며,

도함수는, 원래함수 f가 각점에서 미분의 극한값을 치역으로 갖는 함수임 이때 필연적으로

1변수 함수의 "미분"정의에서 분모 꼴에 f(a)(x1-x0) 꼴이 생기는데. 이는 실제로 선형사상이며,

n차원에서 미분을 쿨하게 선혈사상이 존재하는것으로 정의한다는 것이며, 놀랍게도, 선형대수학의 기본정리로

행렬로 표현됨!!!))

+책마다 다르지만, 보통 해석학2에 "측도론" 이라는 내용을 살짝 배움.

2.위상수학(대수적 위상수학 아님, 즉 대중이 알고있는 푸엥카레 추측은 대수적 위상수학임)

논리 비약적이긴 하나,

해석학이, 급식시절 실수라인 에서 놀던 수학적 개념을 n차원 ,거리공간으로 일반화 시켰다면,

학부 위상수학은 n차원,거리공간을 좀더 추상적인 공간으로 확장하는 과목이라 생각하면, 별 어려움없이 접근할 수 있음

즉, 수학자들은 최소한의 정보로 모든걸 정의하고 싶었던건데, 예를들자면,

급식 기준으로 f가 연속함수란,?  하면 필요한 정보가 너무 많다는 거임, 가령

->정의역이 뭔데? 자연수야? 유리수야? 실수야? 실수의 부분집합이야?

->치역은 뭔데? 마찬가지로 자연수야? 유리수야? 실수야? 실수의 부분집합이야?

->극한이 뭔데? 극한에서 필연적으로 수반되는, 절댓값의 범위는 뭐야?

->함수는 잘정의되? 다항함수야? 뭐야?

보는것처럼, 조건이 강하면, 폭넓게 모든걸 설명할 수 없고, 2차원 등으로 확장하기가 힘든데

학부에서 위상수학은, 집합만 있으면 모든걸 설명할 수 있는 과목인거지.

해석학1을 열심히 공부했다면, 논리전개도 비슷하고, 모티베이션도 충분하니 버틸 수 있는과목임.

가끔 수학글 보여서 수학과에서 배우는게 뭘지 그냥 써봄

-글쓴이 결말-

대학원 때려치고 공인중개사 하는중